Nappes sous-régulières et équations de certaines compactifications magnifiques
By:Pascal Hivert
Published on 2010 by
Sur une algèbre de Lie simple complexe, il existe, à multiplication par un scalaire près, une unique forme trilinéaire invariante. Nous allons utiliser cette forme pour établir des propriétés géométriques sur les nappes sous-régulières et sur les compactifications magnifiques. Lorsque L est une algèbre de Lie de type G2, Kraft remarque que la clôture de l’orbite nilpotente sous-régulière est le lieu singulier (triple) d’une des nappes sous-régulières, et que l’autre est lisse le long de l’orbite nilpotente sous-régulière. La description géométrique des nappes permet d’expliquer ce résultat et de démontrer que la variété des éléments non réguliers est réduite. De Concini et Procesi ont défini la compactification magnifique minimale d’un espace symétrique G/H, où G est un groupe semi-simple adjoint et H le sous-groupe de G des points fixes par une involution. Nous allons démontrer que si le rang de l’espace symétrique est égal au rang de G, alors la compactification magnifique minimale est définie dans une grassmannienne convenable par des équations linéaires. De plus, lorsque G est de rang 2, nous pouvons déterminer explicitement les équations de celle-ci : la compactification est l’éclaté d’une variété projective G-stable le long de l’orbite fermée.
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